クーラン条件

時々刻々変化する動的な状態を時刻歴で解析する場合、解析する全体の時間を細かく分割して各時刻における状態を逐次解析していきます。このような時刻歴の動解析手法には陰解法や陽解法などの直接積分法、固有値解析結果に基づくモーダル法などがあります。その中で陽解法による動解析では分割した時間の間隔Δt(これを時間増分と呼ぶ)を適切に設定しないと発散してしまうことがあります。

ここでは陽解法動解析において、適切な時間増分を決定する方法であるクーラン条件について説明します。

動解析では部材中を伝わる応力波の伝播速度が問題になります。静的な解析と違って動的な解析では、入力された力が部材中を波として伝わり全体に行きわたります。この時、1時間増分当たりに波が進む距離が要素を飛び越えてしまった場合、波の伝播を正しく再現することができません。

そこでクーラン条件では要素の最小エッジ長さと部材中を進む応力波の速度との比を臨界時間増分Δt_CRとし、解析で用いる時間増分Δtが臨界時間増分Δt_CRを超えないように制限しています。これを式で表すと式(1)になります。陽解法で動解析を実施する場合には、式(1)を満たすように時間増分Δtを決める必要があります。
　・・・(1)
Δt：時間増分、Δt_CR：臨界時間増分
臨界時間増分Δt_CRは下式(2)のようになります。
　・・・(2)
Δt_CR：臨界時間増分、L_min：要素の最小エッジ長さ、C：応力波の伝播速度
部材中を伝わる応力波の速度は下式(3)で表わされます。
　・・・(3)
C:応力波の伝播速度、E:弾性率、ρ：密度
実際のところ時間増分Δtはシステムが自動で決定してくれることも多いので、実務上はあまり気にしなくてもよいかもしれません。もちろん手動でΔtを設定することもできますので、その時は今回説明したクーラン条件を満足するかどうかをしっかり検証する必要があります。

また、自動でΔtが設定されたとしてもその技術的な理由を理解しておくことは重要だと思います。理由が理解できていればマススケーリングなどのΔtを意図的に制御するテクニックについても理解できますし、それを妥当に使う方法も自ずと見えてきます。

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