2次元で考えた場合の渦度輸送方程式の導出方法についてメモします。
まず渦度の定義です。渦度は本来3次元のベクトルの形式をしていますが、2次元で考えた場合、z軸周りに成分だけになり、式(1)のように定義されます。
・・・(1)ζ：渦度、u：x方向速度、v：y方向速度ナビエストークスの方程式を2次元で表現しますと、下式(2)(3)のようになります。
・・・(2)
・・・(3)t：時間、u：x方向速度、v：y方向速度、p：圧力、μ：粘度、ρ：密度また、連続の式は下式(4)で表すことができます。
・・・(4)これらの式を用いて渦度輸送方程式を導出していきます。
まず式(2)をyで偏微分します。
・・・(5)少し整理しまして
・・・(6)ここで、式(4)の連続の式を代入します。
・・・(7)同様に、式(3)をxで偏微分して整理し、連続の式(4)を代入しますと、
・・・(8)ここで、式(8)-式(7)を計算して整理します。
・・・(9)すでに左辺は渦度の形式が見えてきましたが、右辺をさらに整理していきます。ややこしい計算が続きますが順を追って見ていけば理解できると思います。
・・・(10)
・・・(11)
・・・(12)
・・・(13)式(13)まで変形してやっと渦度が右辺にも見えてきました。
ここで、式(1)を式(13)に代入しますと、渦度輸送方程式となります。
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