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陰解法

有限要素法によって、時間的な変化を逐次解析する場合に用いられる直接時間積分法には、大きく分けて陰解法と陽解法があります。今回は陰解法について説明します。陽解法についてはこちら

陰解法にもいろいろな手法がありますが、ここではニューマーク法について説明します。ちなみにニューマークβ法というのがありますが、これはニューマーク法のパラメータβ、γのうち、γの値を1/2に固定した時の方法です。

ニューマーク法では時刻t+Δtにおける変位と速度を下式(1)、(2)のように定義します。
image001_20110224162738.png ・・・(1)

image003_20110224162737.png ・・・(2)
{u}:変位ベクトル(1ドット付きは速度ベクトル、2ドット付きは加速度ベクトルを示す)、
t:時間、Δt:時間増分、β、γ:パラメータ、
下付きの時刻の添え字はその時刻におけるベクトルであることを示します

変位や速度をテーラー展開した形式に似ていますが少し異なります。加速度の項で現在の時刻tと次の時刻t+Δtにおける加速度をどう配分するかをパラメータβとγで制御できるようになっています。

ここで時刻t+Δtにおける運動方程式は下式(3)のようになります。振動の運動方程式に対して自由度が大きいためマトリクス形式になっていますが基本は同じですね。
image005_20110224162737.png ・・・(3)
[M]:質量マトリクス、[C]:減衰マトリクス、[K]:剛性マトリクス、{P}:荷重ベクトル、
t:時間、Δt:時間増分、{u}:変位ベクトル(1ドット付きは速度ベクトル、
2ドット付きは加速度ベクトルを示す)、
下付きの時刻の添え字はその時刻におけるベクトル・マトリクスであることを示します

式(1)、式(2)を式(3)に代入して整理しますと、下式(4)のようになります。式が長過ぎて複数行になっていますので注意ししてください。
image007_20110224162737.png ・・・(4)
{u}:変位ベクトル(1ドット付きは速度ベクトル、2ドット付きは加速度ベクトルを示す)、
t:時間、Δt:時間増分、[M]:質量マトリクス、[C]:減衰マトリクス、
[K]:剛性マトリクス、{P}:荷重ベクトル、β、γ:パラメータ、
下付きの時刻の添え字はその時刻におけるベクトルであることを示します

式(4)が代表的な陰解法であるニューマーク法の基本式になります。ちなみにニューマーク法のパラメータβとγをどのような値にするかで呼び名が変わります。下表にその一覧を示します。

直接時間積分法

一般にγは1/2とすることが多いため、γ=1/2に固定してパラメータをβだけにしたものをニューマークβ法と呼びます。β=0、γ=1/2では陽解法である中央差分法と同じになりますが、この時の質量マトリクスや減衰マトリクスは対角マトリクスであることが条件です。

ここで重要なことは、今回説明したニューマーク法のような陰解法では、左辺の( )内に剛性マトリクス[K]を含むということです。剛性マトリクス[K]は一般に対角マトリクスには成り得ないため、左辺の( )内全体としても対角マトリクスにはなりません。よって式(4)を解くためには左辺( )内の逆マトリクスを計算する必要があります。つまりは式(4)の連立方程式を解く処理が必要になるということです。

前回説明したように陽解法では連立方程式を解く必要がありませんが、陰解法では連立方程式を解く処理が必要になります。したがって陰解法では陽解法に比べて1ステップ当たりの計算負荷が高いという特徴があります。その代り時間ステップを大きくしても発散することはありません(精度よく解析するためには時間ステップを細かくする必要はあるのですが・・)。

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[ 2011/02/26 06:30 ] 技術メモ | TB(0) | CM(0)
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 とあるメーカに勤め、CAEを担当する技術士(機械部門)。 コンピュータシミュレーションにより製品の強度や性能を評価するのがお仕事。
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